Ukamilishaji (hisabati)

Taswira ya kukamilisha. Upana wa mistatili ukipungua, jumla ya eneo ya mistatili yote inaelekea eneo halisi baina ya mchirizo na jira-x

Ukamilishaji (Kiingereza: integration) katika hisabati ni tendo ya kukokotoa eneo chini ya michirizo, juzuu ya vitu, au mambo mengine mengi. Pamoja na utofautishaji (Kiingereza: differentiation), ukamilishaji ni sehemu muhimu zaidi ya kalkulasi. Ukamilishaji inaelezwa kuwa mfululizo endelevu. Ni tokeo la kujumlisha mfuatano wenye idadi isiyokoma ya viduchu.

Kukamilisha mlinganyo, lazima tupate mlinganyo utofautishao kuwa mlinganyo wa kwanza.

Mwandiko

Ikiwa f(x) ni namba tegemezi, tutapata eneo kati ya mchirizo wake na mhimili ya x, kati mistari yenye milinganyo $x=a$ na $x=b$ kwa kuandika

$\int _{a}^{b}f(x)dx$

Alama hio ∫ inawakilisha ukamilishaji, na kungekuwa na tofauti zaidi ya moja "dx" inamaana tukamilishe x tu.

Mifano

Mfano 1

Tutahesabu eneo kati ya mchirizo unaozalishwa na mlinganyo $y=6x^{2}-10x+2$ na mhamili ya x, katikati ya $x=0$ na $x=2$. Tutatumia kanuni "ongeza kipeo kwa moja, gawanya kwa kipeo kipya".

$\int _{0}^{2}(6x^{2}-10x+5)dx$

$=\left[{\frac {6x^{3}}{3}}-{\frac {10x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{1}}{1}}\right]_{0}^{2}$

$=\left[{2x^{3}}-{5x^{2}}+{5x}\right]_{0}^{2}$ Hapa badili x kwa 0 na 2, ukatoe.

$=\left(2\times 2^{3}-5\times 2^{2}+5\times 2\right)-\left(2\times 0^{3}-5\times 0^{2}+5\times 0\right)$

$=(16-20+10)-(0-0+0)=6$

Mfano 2

$\int _{0}^{\pi }\sin(x)\,dx=-\cos(x){\big |}_{x=0}^{x=\pi }=-\cos(\pi )-{\big (}-\cos(0){\big )}=2.$

Makala hii kuhusu mambo ya hisabati bado ni mbegu. Je, unajua kitu kuhusu Ukamilishaji (hisabati) kama historia yake au mahusiano yake na mada nyingine? Labda unaona habari katika Wikipedia ya Kiingereza au lugha nyingine zinazofaa kutafsiriwa? Basi unaweza kuisaidia Wikipedia kwa kuihariri na kuongeza habari.